Waarom het heelal vol met het getal 3 is.

Door Mihai. CAT: Geen categorie

Ik kreeg het volgende huiswerk:

• Welke fractie van de eerste 1000 gehele getallen bevat een 3? Bij voorbeeld, 135, 403 en 339 bevatten allemaal een 3, terwijl 402,677 en 8 dat niet doen.
• Welke fractie van de eerste 10.000 gehele getallen bevat een 3?
• Leg uit waarom vrijwel alle getallen bestaande uit een miljoen cijfers een 3 bevatten.

Wie weet het antwoord?

Trackback from your site.

Comments (36)

  • satuka

    |

    Avatar van satuka
    Ik kan het niet uitrekenen maar ik vermoed dat het verloop bij getallen van een miljoen cijfers zo is, dat er altijd wel ergens een 3 staat, en wellicht ook een 1,2,4,5,6,7,8,9 en 0?

    En zou dat niet al bij een kleinder getal het geval zijn?

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    Trouwens, musici moeten meer spatiele voorstellingsvermogen hebben dan andere mensen. Er wordt heel veel onderzoek tegenwoordig gedaan. Bijvoorbeeld het mozart effect bestaat niet.

    Ik heb net een paar dagen geleden een artikel gelezen dat de communicatie tussen de hersenhelften van de musici even snel is, van links naar rechts als van rechts naar links. Van de andere mensen is de communicatie van rechts naar links sneller dan van links naar rechts.

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    Voor 1000: (1/10+1/10+1/10)*1000
    Voor 10000: (1/10+1/10+1/10+1/10)*10000

    Die laatste denk ik nog even over na…

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    bijna

    Moet ik je een hint geven?
    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    Als het niet goed is graag. Ik zie geen andere oplossing op dit moment namelijk.

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    Voor 1000: (1/3+1/10+1/10)*1000
    Voor 10000: (1/10+1/10+1/10+1/10)*10000

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    nee,

    Denk meer aan:

    X – ((X – 10%)-10%)-10%) is het aantal getallen met een 3 erin. Het aantal hakjes is gelijk aan het aantal nullen. Ik ben nog steeds op zoek naar een formule, maar het resultaat heb ik berekend met een eenvoudig computerprogrammatje (als je verstand hebt van Visual Basic):

    Function GetAantal(n)

    Dim i, x

    For i = 1 To n

    If InStr(CStr(i), "3") Then

    x = x + 1

    End If

    Next i

    GetAantal = x

    End Function

    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    Ok, leek me ook al dat de 1e oplossing beter was. 10% per nul is ook het meest logisch.

    Ik blijf er dan ook bij dat het ook goed is als principiële benadering. Wellicht is er dus nog een vaste correctiefactor.

    Ik geloof niet dat je programma klopt trouwens.
    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • ErPee

    |

    Avatar van ErPee
    Is het voor 3 anders dan voor 4 of 5 ? Of gaat het daar niet om ?

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    Voor alle getallen is het gelijk. Bijvoorbeeld in

    100.000.000 getallen bevat 56,953279% een 3 of een 4 of een 5.

    Dus:
    56,953279% bevat een 3
    56,953279% bevat een 4
    56,953279% bevat een 5

    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • ErPee

    |

    Avatar van ErPee
    Komen die percentages uit een formule of uit jouw basic-programma? Voor getallen van 1 cijfer is het percentage 10, lijkt me. Ik vind het vreemd dat dat bij getallen van meer cijfers anders zou zijn.

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    @ErPee

    Ze komen uit mijn programma. maar het klopt. Dat zegt de opdracht ook: hoe groter het getal, hoe groter de kans dat een cijfer er in staat.

    100.000 — 40,951%

    1.000.000 — 46,8559%

    10.000.000 — 52,17031%

    100.000.000 — 56,953279%

    Ik probeer nog steeds een formule voor te vinden. Kijk maar hier waarom: http://i178.photobucket.com/albums/w263/martoiu/Img_3.jpg

    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    @Erpee
    Lijkt mij dus ook. Ik blijf dan ook bij mijn eerst gegeven oplossing. Ik zie niet nu, welke correctiefactor er zou moeten zijn.

    Het aantal getallen per 0 neemt toe, zodat je uiteindelijk bij een getal van een miljoen cijfers al tegen de 100% zit.

    Het is een Hyperbool, zo heet dat toch?

    Nu was ik nooit een kei in Wiskunde, dat dan weer wel….
    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • ErPee

    |

    Avatar van ErPee
    @Grutte Pier
    Een hyperbool, volgens mij ook ja.

    Het maakt denk ik ook verschil of je het hebt over getallen tot duizend, of over getallen van 4 cijfers. In het eerste geval heeft het cijfer 1 een uitzonderingspositie, in het tweede niet. Het cijfer 0 heeft altijd een uitzonderingspositie.

    Het plaatje van Mihai doet me denken aan de stelling van Pythagoras.

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    Nog een formulering

    1000 * 0,1 +
    1000 * 0,1 * 0,9 +
    1000 * 0,1 * 0,9 * 0,9

    of:
    (X*0,1)+
    ((X*0,9)*0,1)+
    (((X*0,9)*0,1)*0,9)

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    Kijk bijvoorbeeld voor 10.000

    10000 * 0,1 = 1000 +
    10000 * 0,1 * 0,9 = 900 +
    10000 * 0,1 * 0,9 * 0,9 = 810 +
    10000 * 0,1 * 0,9 * 0,9 * 0,9 = 729
    ==================================
    3439

    dus 34,39%

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    Overtuigd mij niet, ik blijf bij de mijne. Is er een vastaande oplossing trouwens?

    O nee, het was huiswerk. ;-)

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    het komt overeen met mijn computerprogramma en dat brekent het op een andere manier. Dat loopt alle getallen af van 1 tot en met 10.000 en kijkt of er een 3 in voorkomt. het programma komt tot hetzelfde resultaat. Dus de formule klopt.

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    Dus toch een vaste correctiemethode per 0, moest eigenlijk ook wel, gezien grafische weergave.

    Vandaar het hyperbolische.

    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • korall haj

    |

    Avatar van korall haj
    je kunt het beste kijken hoeveel combinaties je kunt maken _zonder_ dat je het getal 3 gebruikt.

    voor 1 cijfer is dat 9 combinaties
    voor 2 cijfers 9^2 combinaties
    voor 3 cijfers 9^3 combinaties
    voor n cijfers 9^n combinaties

    je ruimte is 10^n

    voor 100.000.000 is n gelijk aan 8, je hebt dan dus 9^8 combinaties zonder 3: 43046721 combinaties oftewel 0,43046721 %

    dit komt overeen met de uitkomst van je visual basic programma : 1 – 0,4304671 = 56,953279%

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    Kijk dit is pas een charmante oplossing!

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    het is X * 0,1^n * 0,9^n

    waar n is gelijk aan het aantal nullen.
    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    En de correctiefactor is boven tafel. Weer wat geleerd vanavond.

    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • korall haj

    |

    Avatar van korall haj
    fascinerend die laatste karakters van mijn bijdrage van 23:17 :-)

    Reply

  • Grutte Pier

    |

    Avatar van Grutte Pier
    @korall
    De hele opmaak was even naar zijn grootje hier. Maar gebeurd wel vaker…

    (zoals nu wederom…. :-) )
    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    Volgens mij bereken je de percentage als volgt:

    (X-(X*0,9^n))*0,1^n-2

    Reply

  • korall haj

    |

    Avatar van korall haj
    ok, voor getallen met n cijfers zijn er 10^n combinaties, waarvan 9^n zonder cijfer 3 er in.

    percentage met cijfer 3 voor getal van n cijfers = (alle combinaties – alle combinaties zonder 3) / alle combinaties

    P(n) = (10^n – 9^n)/10^n
    P(n) = 10^n/10^n – 9^n/10^n
    P(n) = 1 – 0,9^n

    P(1) = 1 – 0,9 = 10%
    P(2) = 1 – 0,81 = 19%
    P(3) = 1 – 0,729 = 27,1%
    P(8) = 1 – 0,43046721 = 56,953279%
    P(1 miljoen) = 1 – ~0 ~= 100%

    uiteindelijk zal 0,9^n zeer klein worden en naar 0 gaan zodat het percentage met getallen waar het cijfer 3 in zit bijna 100% wordt.

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    die zit zeker nog op school.

    Reply

  • korall haj

    |

    Avatar van korall haj
    nee ik ben al afgestudeerd, voor welk vak kreeg je dit huiswerk?

    Reply

  • mihai

    |

    Avatar van mihai
    Ik volg nu een college "wiskunde voor dichters, denkers en doeners" bedoeld om mensen die geen flauw idee hebben wat wiskunde is (zoals dichters, filosofen etc.). Daar doen we allerlei leuke dingen, zoals fractals, geheime codes, speltheorie.

    Ik heb geen flauw idee van wiskunde want ik ben 20 jaar geleden klaar met de school geweest en in de laatste jaren was ik lid van de nationale skiploeg. Dat betekende dat ik tussen december en april niet naar school ging en op het moment dat ik terug kwam, de docenten me heel eenvoudige dingen lieten doen voor een voldoende. En wiskunde was een van de vakken, die ik het minst kon inhalen.

    Reply

  • Ruud Zweistra

    |

    Avatar van Ruud Zweistra
    Tot slot de laatste vraag van je opgave:
    Die had formeel gezien moeten luiden:
    Laat zien dat voor een getal 10^n, met n-> oo , die kans naar 1 gaat.
    Oftewel: bewijs dat
    lim (n -> oo) f(k, n) = 1 ,
    waarbij f(k, n) de kans is op het voorkomen van cijfer k in getal 10^n.

    Maar persoonlijk ben ik niet zo goed in dit soort dingen.

    Reply

  • satuka

    |

    Avatar van satuka
    mihai schreef:

    Trouwens, musici moeten meer spatiele voorstellingsvermogen hebben dan andere mensen. Er wordt heel veel onderzoek tegenwoordig gedaan. Bijvoorbeeld het mozart effect bestaat niet.

    reactie: ik ben er niet heel bekend mee, maar ik heb een programma gezien waarin ze twee groepen biljarters van gelijk niveau van te voren respectievelijk naar een slechte wedstrijd en een wedstrijd op hoog niveau (hoger dan dat van hun zelf) lieten kijken. De laatste groep presteerde daarna aanzienlijk beter. Lijkt me enigszins vergelijkbaar. Maar of je echt slimmer kan wórden? Wat er niet in zit, kan er ook niet uitkomen. Maar wat latent aanwezig is kan natuurlijk wel worden gestimuleerd.

    mihai schreef:

    Ik heb net een paar dagen geleden een artikel gelezen dat de communicatie tussen de hersenhelften van de musici even snel is, van links naar rechts als van rechts naar links. Van de andere mensen is de communicatie van rechts naar links sneller dan van links naar rechts.

    reactie: Ik heb begrepen dat muziek maken een van de weinige activiteiten is waarbij je linker hersenhelft net zo hard werkt als je rechterhelft. Daarom is het relatief ook veel intensiever.

    Ik snap het wel een beetje, bij muziek geef je én vorm aan emoties (je duikt dus op een bepaalde manier je herinneringen in), maar je maakt ook wel degelijk gebruik van je intellect, je bent tegelijkertijd ook voortdurend tijd aan het meten en andere soorten berekeningen aan het maken. Wil er me nog wel eens verder in verdiepen als ik de tijd kan vrijmaken.

    Reply

  • Mihai

    |

    Avatar van Mihai

    @satuka

    Het was puur een onderzoek naar de snelheid waarmee de elektrische signalen circuleren door de verbinding (Corpus callosum

    ) tussen de hersenhelften gaan. Als we iets aan de linkerkant zien, wordt dat in de rechter hersenhelft bewerkt en andersom. Deze bewerking wordt daarna doorgegeven aan de andere hersenhelft. Deze snelheid is in het onderzoek gemeten.

    Ik heb net een over ander onderzoek gelezen, met hersenscans (FMRI), en het blijkt dat professionele musici de muziek in een andere hersengedeelte verwerken dan de rest van de mensen. De musici verwerken de muziek in hetzelfde gebied als taal en wiskunde, terwijl de rest van ons in het gebied dat met gevoelens en schoonheid te maken heeft.
    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • satuka

    |

    Avatar van satuka
    Boeiend. Ik heb het zelf niet zo heel erg veel met wat ik intellectuele muziek noem, omdat ik daarin de passie mis. Ik zie het intellect als een middel om het (muzikale) verhaal te vertellen en niet als doel op zich. Dat zie ik bij – met name – jazz musici nog wel eens gebeuren. Ik zeg wel eens dat sommige musici heel snel en kundig een "woordenboek" kunnen opdreunen, maar dat het verhaal daardoor niet persé boeiender wordt. Ik zelf blijf streven naar een balans tussen gevoel en verstand, goed teamwerk zogezegd. Gelukkig kan ik nog geroerd raken als ik muziek hoor, maar ook ik ontkom natuurlijk niet aan een zekere beroepsdeformatie ;-). Ik herken de meeste harmonieën, progressies en ritmes nu eenmaal. Dus het benoemen daarvan gaat nagenoeg automatisch.
    Reactie is geredigeerd

    Reply

  • Mihai

    |

    Avatar van Mihai
    Een vriendin van me, een harpiste, zegt dat het onderzoek kan kloppen. Zij vertelt dat ze geen plezier beleeft bij het luisteren van een harpstuk. Ze zit steeds heel rationeel te luisteren wat de speler doet.

    Reply

Leave a comment